Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - 0.25 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $2$ ist die $2 \times 2$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - 0.25 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - 0.25 \end{array}] - λ I_{2})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{2}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - 0.25 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - 0.25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - 0.25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - 0.25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - 0.25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - 0.25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - 0.25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - 0.25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 0.25 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $- 1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & - 1 \\ 0 + 0 & - 0.25 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & - 1 \\ 0 & - 0.25 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

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Schritt 5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 0.25 - λ) + 0 \cdot - 1$

Schritt 5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $(- 1 - λ) (- 0.25 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - 1 (- 0.25 - λ) - λ (- 0.25 - λ) + 0 \cdot - 1$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - 1 \cdot - 0.25 - 1 (- λ) - λ (- 0.25 - λ) + 0 \cdot - 1$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - 1 \cdot - 0.25 - 1 (- λ) - λ \cdot - 0.25 - λ (- λ) + 0 \cdot - 1$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.25$ .

$p (λ) = 0.25 - 1 (- λ) - λ \cdot - 0.25 - λ (- λ) + 0 \cdot - 1$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Multipliziere $- 1 (- λ)$ .

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Schritt 5.2.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 0.25 + 1 λ - λ \cdot - 0.25 - λ (- λ) + 0 \cdot - 1$

Schritt 5.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 0.25 + λ - λ \cdot - 0.25 - λ (- λ) + 0 \cdot - 1$

Schritt 5.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 0.25$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 0.25 + λ + 0.25 λ - λ (- λ) + 0 \cdot - 1$

Schritt 5.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 0.25 + λ + 0.25 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot - 1$

Schritt 5.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 0.25 + λ + 0.25 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot - 1$

Schritt 5.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 0.25 + λ + 0.25 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot - 1$

Schritt 5.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 0.25 + λ + 0.25 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot - 1$

Schritt 5.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = 0.25 + λ + 0.25 λ + λ^{2} + 0 \cdot - 1$

Schritt 5.2.1.2.2

Addiere $λ$ und $0.25 λ$ .

$p (λ) = 0.25 + 1.25 λ + λ^{2} + 0 \cdot - 1$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 0.25 + 1.25 λ + λ^{2} + 0$

Schritt 5.2.2

Addiere $0.25 + 1.25 λ + λ^{2}$ und $0$ .

$p (λ) = 0.25 + 1.25 λ + λ^{2}$

Schritt 5.2.3

Bewege $0.25$ .

$p (λ) = 1.25 λ + λ^{2} + 0.25$

Schritt 5.2.4

Stelle $1.25 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = λ^{2} + 1.25 λ + 0.25$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$λ^{2} + 1.25 λ + 0.25 = 0$

Schritt 7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1.25$ und $c = 0.25$ in die Quadratformel ein und löse nach $λ$ auf.

$\frac{- 1.25 \pm \sqrt{{1.25}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 0.25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1.1

Potenziere $1.25$ mit $2$ .

$λ = \frac{- 1.25 \pm \sqrt{1.5625 - 4 \cdot 1 \cdot 0.25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 0.25$ .

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Schritt 7.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$λ = \frac{- 1.25 \pm \sqrt{1.5625 - 4 \cdot 0.25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0.25$ .

$λ = \frac{- 1.25 \pm \sqrt{1.5625 - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.3

Subtrahiere $1$ von $1.5625$ .

$λ = \frac{- 1.25 \pm \sqrt{0.5625}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$λ = \frac{- 1.25 \pm \sqrt{0.5625}}{2}$

Schritt 7.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$λ = - 0.25, - 1$